Auszug aus der Website der Medizinischen Einrichtungen des Bezirks Oberpfalz (Medbo)
Quelle: www.medbo.de/index.php?id=1287
Stand: Donnerstag, 17. Mai 2012

Das Försterdreieck

Eines Tages kam Jan zu uns und brachte aus dem Mathematikunterricht die Idee mit dem Försterdreieck mit. Gemeinsam mit Fabian gingen wir hinaus und versuchten in der Praxis herauszufinden, ob es tatsächlich möglich ist die Höhe jeden beliebigen Baumes genau zu bestimmen, auch wenn er noch so groß ist. Die folgenden Texte, Grafiken und Bilder stammen alle von Jan und Fabian. Herzlichen Dank an euch beide.

Benötigtes Material:

· Karton oder dicke Pappe (Seitenlänge mindestens: 40 cm)

· circa 5 Streichholzschachteln gleicher Dicke (ohne Inhalt)

· 3 Schaschlikstäbchen (Länge: ungefähr 8 cm)

· Gewichtsstück (z.B.: Büroklammer), Faden

· Schere, Kleber, Geodreieck

Anleitung:

Das Försterdreieck besteht aus zwei deckungsgleichen, gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken aus Karton (Schenkellänge: mindestens 40 cm).

Zwischen diesen Seitenflächen werden einige Streichholzschachteln als Abstandhalter geklebt.

Die drei Schaschlikstäbchen werden jeweils senkrecht zu den Seitenflächen in selbige hineingesteckt (siehe Skizze).

Die zwei Schaschlikstäbchen 1 und 2 werden im Abstand 1 cm parallel zur Hypotenuse (längste Seite des Dreiecks) angebracht.

Die Schaschlikstäbchen 2 und 3 werden im Abstand 1 cm zur seitlichen Kathete (Seiten, die den rechten Winkel bilden) angebracht.

Anwendung:

Halte das Försterdreieck so, dass das Schaschlikstäbchen 2 das höchstgelegene ist und richte das Dreieck so aus, dass die Kathete a parallel zum Boden ist (Bestimmung mit Hilfe des Lotfadens). Blicke von der Ecke B aus durch den Schacht, den die beiden Pappdreiecke bilden. Platziere dich anschließend so, dass du durch Ecke A den höchsten Punkt des zu vermessenden Objektes anvisierst. Verweile in dieser Position bis dein Partner in waagrechter Linie den Abstand vom Punkt B bis zum Punkt senkrecht unter der höchsten Stelle des Objekts und deine Augenhöhe (senkrechte Entfernung deiner Augen vom Boden) gemessen hat.

Dann addiere die beiden Beträge. So erhältst du die Höhe des Objektes.

Erklärung:

Als Voraussetzung muss man folgendes mathematische Gesetz kennen:

Das Verhältnis von e (Entfernung zwischen Punkt B und dem zu vermessenden Objekt) zur Seite a entspricht dem Verhältnis von h1 zur Seite b (Teilausschnitt des Strahlensatzes).

Da die Seiten a und b die gleiche Länge haben, vereinfacht sich die Gleichung:

Entfernung e entspricht der Teilhöhe h1 des zu vermessenden Objektes. Nun muss man nur noch die Augenhöhe f, die der Teilhöhe h2 entspricht, addieren, um die Gesamthöhe h des Objektes zu erhalten.

Und jetzt das gleiche in mathematischer Form:

gegeben ist: a = b; f = h2

h1 : b = e : a

=> h1 : a = e : a (man kann b durch a ersetzen, da diese den gleichen Wert haben!)

=> h1 = e (a entfällt)

h1 + h2 = h

=> e + f = h (weil e h1 und f h2 entspricht)

Da e und f messbar sind, kann man die Gesamthöhe h errechnen!

Beispiel:

h1 : b = e : a

=> h1 : 0,40 m = e : 0,40 m (wie oben bereits erläutert entfallen die Teiler)

=> h1 = 10 m (da e messbar ist, ist die Höhe h1 10 Meter)

h1 + h2 = h

=> 10 m + h2 = h

=> 10 m + f = h

=> 10 m + 1,57 m = h (die Augenhöhe f ist ebenfalls messbar)

=> 10 m + 1,57 m = 11,57 m

Mit dieser Vorgehensweise konnte errechnet werden, dass der Baum 11,57 Meter hoch ist.

Veranschaulichung der Anwendung (durch die Fotoperspektive erscheint die Strecke e auf dem Bild länger als die Strecke h1. In Wirklichkeit sind e und h1 gleich lang.)

Universitätsstr. 84, 93053 Regensburg
Telefon: +49 (0)941/941-0, Telefax: +49 (0)941/941-1105
E-Mail: info@medbo.de